2. Zadatak

Neka je u drugoj vreći bilo $K$ Štrumpfova, a u trećoj vreći $L$ Štrumpfova. Neka su $x$, $y$ i $z$ redom visine Papa Štrumpfa, Mrguda i Štrumpfete.

Ako su visine Štrumpfova u prvoj vreći $x,x_2,x_3,\ldots,x_9$, onda je

$$\frac{x+x_2+\cdots+x_9}{9}=8+\frac{z+x_2+\cdots+x_9}{9},$$

tj.

$$\frac{x}{9}=8+\frac{z}{9}.$$

Analogno, promatrajući prosjek u drugoj i trećoj vreći dobivamo

$$5+\frac{y}{K}=\frac{x}{K},\qquad 8+\frac{z}{L}=\frac{y}{L}.$$

Imamo sustav

$$x=72+z,\qquad 5K+y=x,\qquad 8L+z=y.$$

Zbrojimo li sve tri jednadžbe dobivamo

$$72=5K+8L.$$

Budući da su $K$ i $L$ prirodni brojevi, zaključujemo da $8$ dijeli $K$. Nije moguće $K\ge16$ jer bi tada $L$ bio negativan, niti $K=0$ jer druga vreća nije prazna (u njoj je na početku bio Mrgud), pa mora vrijediti $K=8$.

Zaključujemo da je $L=4$. Budući da vrijedi $N=K+L+9$, slijedi $N=21$.