3. Zadatak

Ako je par $(x,y)$ rješenje danog sustava, onda je očito i par $(-x,y)$ rješenje. Zaključujemo da jedinstveno rješenje ovog sustava mora biti oblika $(0,y)$.

Uvrstimo li $x=0$ u dani sustav dobivamo

$$1=y+a,\qquad y^2=1,$$

pa je $y=1$ ili $y=-1$, i stoga $a=0$ ili $a=2$.

Pogledajmo najprije slučaj $a=0$. Početni sustav se svodi na

$$2^{|x|}+|x|=x^2+y,\qquad x^2+y^2=1.$$

Lako se vidi da je $(0,1)$ rješenje. Pokažimo da nema drugih rješenja. Iz druge jednadžbe slijedi $|x|\le1$ i $|y|\le1$. Zbog $0\le|x|\le1$ vrijedi $|x|\ge x^2$. Također vrijedi

$$2^{|x|}\ge2^0=1\ge|y|\ge y$$

pa je

$$2^{|x|}+|x|\ge x^2+y.$$

Da bi vrijedila jednakost, mora biti $|x|=0$ i $|y|=y$, tj. $x=0$ i $y\ge0$. Zbog druge jednadžbe tada je $(x,y)=(0,1)$, pa ovaj sustav nema drugih rješenja.

U slučaju $a=2$ možemo uočiti da su osim $(0,-1)$ rješenja sustava

$$2^{|x|}+|x|=x^2+y+2,\qquad x^2+y^2=1$$

i parovi $(1,0)$ i $(-1,0)$.

Zaključujemo da sustav ima jedinstveno rješenje ako i samo ako je $a=0$.