4. Zadatak

Odaberimo točku $E$ na stranici $BC$ tako da je $|BE|=|BD|$ i $|CE|=|AD|$.

Kako je $BD$ simetrala kuta $\angle CBA$, vrijedi $|CD|:|AD|=|BC|:|AB|$. Zato je

$$\frac{|CD|}{|CE|}=\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{|CB|}{|CA|}.$$

Trokuti $ABC$ i $EDC$ imaju zajednički kut u vrhu $C$ i jednake omjere odgovarajućih stranica uz taj vrh pa su slični. Stoga je $\angle CED=\angle CAB$.

Neka je $\angle ABC=2x$. Tada je $\angle CBD=\angle EBD=x$, $\angle DBA=x$ i $\angle ACB=2x$. Nadalje, $\angle CED=\angle BAC=180^\circ-4x$.

Kako je trokut $BED$ jednakokračan, vrijedi $\angle DEB=90^\circ-\frac{x}{2}$. Kako su $\angle DEB$ i $\angle CED$ sukuti, vrijedi

$$\left(90^\circ-\frac{x}{2}\right)+(180^\circ-4x)=180^\circ,$$

odakle slijedi $x=20^\circ$.

Konačno, kutovi promatranog trokuta su $\angle ABC=\angle ACB=40^\circ$ i $\angle BAC=100^\circ$.