Iz uvjeta zadatka, postoje prirodni brojevi k,l takvi da vrijedi
2m−1=kn,2n−1=lm.
Vrijedi 2m=kn+1, 2n=lm+1, pa slijedi
4n−2=2(2n−1)=2⋅ml=2m⋅l=(nk+1)l.
Iz 4n−2=(nk+1)l slijedi
(4−kl)n=l+2.
Budući da je desna strana pozitivna, mora vrijediti 4−kl>0, odnosno kl<4. Budući da su k i l prirodni brojevi, imamo ove mogućnosti:
-
kl=1, odnosno k=l=1.
Mora vrijediti 2m−1=n, 2n−1=m, iz čega slijedi m=n=1.
-
kl=2.
To nije moguće, jer iz 2m−1=kn, 2n−1=lm slijedi da su k i l neparni brojevi.
-
kl=3, odnosno k=3,l=1 ili k=1,l=3.
U prvom slučaju iz 2m−1=3n, 2n−1=m dobijemo m=5,n=3. Analogno, u drugom slučaju je m=3,n=5.
Dakle, rješenja su (m,n)∈{(1,1),(3,5),(5,3)}.
