1. Zadatak

Jednadžbu parabole $y=4x^2-4(k+1)x+k^2+4k-1$ zapišimo u tjemenom obliku.

$$\begin{aligned} y &=4\left(x^2-4(k+1)x+\left(\frac{k+1}{2}\right)^2\right) -4\left(\frac{k+1}{2}\right)^2+k^2+4k-1\\ &=4\left(x-\frac{k+1}{2}\right)^2-(k+1)^2+k^2+4k-1\\ &=4\left(x-\frac{k+1}{2}\right)^2+2k-2. \end{aligned}$$

Dakle, koordinate tjemena su

$$x_0=\frac{k+1}{2}, \qquad y_0=2k-2.$$

Uvrštavanjem u parabolu $y=4x^2-2x-8$ imamo

$$\begin{aligned} y_0&=4x_0^2-2x_0-8,\\ 2k-2&=4\left(\frac{k+1}{2}\right)^2-2\frac{k+1}{2}-8,\\ 2k-2&=(k+1)^2-(k+1)-8,\\ 2k-2&=k^2+k-8,\\ k^2-k-6&=0. \end{aligned}$$

Rješenja dobivene kvadratne jednadžbe su $k=3$ i $k=-2$, pa su to ujedno i sve tražene vrijednosti realnog broja $k$.

Koordinate tjemena moguće je naći i direktnim uvrštavanjem u formulu za tjeme kvadratne funkcije.