3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $x_1$ i $x_2$ rješenja jednadžbe $x^2+ax+b=0$, a $x'_1$ i $x'_2$ rješenja jednadžbe $x^2+5ax+(6a^2+b)=0$.

Prema Vièteovim formulama vrijedi $a=-(x_1+x_2)$, pa je i broj $a$ cijeli.

Prema formuli za rješenja kvadratne jednadžbe imamo

$$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2},$$

te

$$\begin{aligned} x'_{1,2} &=\frac{-5a\pm\sqrt{25a^2-4(6a^2+b)}}{2}\\ &=\frac{-5a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}\\ &=\frac{-4a-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}\\ &=-2a+x_{1,2}. \end{aligned}$$

Time smo dokazali da su $x'_{1,2}$ zbrojevi cijelih brojeva $-2a$ i $x_{1,2}$, pa su zato i sami cijeli.

Drugo rješenje.

Neka su $x_1$ i $x_2$ rješenja jednadžbe $x^2+ax+b=0$, a $x'_1$ i $x'_2$ rješenja jednadžbe $x^2+5ax+(6a^2+b)=0$.

Prema Vièteovim formulama vrijedi $a=-(x_1+x_2)$ i $b=x_1x_2$, pa su i brojevi $a$ i $b$ cijeli.

Prema formuli za rješenja kvadratne jednadžbe imamo

$$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2},$$

te

$$\begin{aligned} x'_{1,2} &=\frac{-5a\pm\sqrt{25a^2-4(6a^2+b)}}{2}\\ &=\frac{-5a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}. \end{aligned}$$

Diskriminanta $d=a^2-4b$ je cijeli broj jer su $a$ i $b$ cijeli. Nadalje, da bi rješenja $x_{1,2}$ bila cjelobrojna, diskriminanta mora biti jednaka kvadratu cijelog broja. Dakle, postoji $k\in\mathbb N_0$ takav da je $d=k^2$, odnosno

$$k=\sqrt d=\sqrt{a^2-4b}.$$

Kako su $x_{1,2}=\frac{a\pm k}{2}$ cijeli brojevi, brojevi $a$ i $k$ cijeli su brojevi iste parnosti.

Zato su i brojevi $5a$ i $k$ cijeli brojevi iste parnosti pa su i $x'_{1,2}=\frac{-5a\pm k}{2}$ cijeli brojevi, što je i trebalo dokazati.