4. Zadatak

Zbog nazivnika, nužno imamo $y\neq0$ i $y\neq-1$.

Sređivanjem početne nejednakosti i svođenjem na zajednički nazivnik imamo niz ekvivalentnih nejednakosti:

$$\begin{aligned} 0&\leq1+\frac{x^2}{y}-\frac{(1+x)^2}{1+y}\\ &\leq\frac{y(y+1)+x^2(y+1)-(1+x)^2y}{y(y+1)}\\ &\leq\frac{y^2+y+x^2y+x^2-y-2xy-x^2y}{y(y+1)}\\ &\leq\frac{y^2+x^2-2xy}{y(y+1)}\\ &\leq\frac{(x-y)^2}{y(y+1)}. \end{aligned}$$

Za sve realne brojeve $x,y$ vrijedi $(x-y)^2\geq0$.

Razlikujemo dva slučaja, ovisno o tome je li taj kvadrat jednak nuli, ili strogo veći od nule.

Ako je $(x-y)^2=0$, odnosno $x=y$, početna nejednakost je zadovoljena za sve dopuštene $x=y$, odnosno za $y\neq0,-1$. Dakle, u ovom slučaju dobivamo rješenje

$$x=y\in\mathbb R\setminus\{-1,0\},$$

te se za sve takve $x$ i $y$ ujedno postiže i jednakost.

Ako je $(x-y)^2>0$ (odnosno $x\neq y$), ne postiže se jednakost u zadnjoj, pa onda ni u početnoj nejednakosti. Da bi se postigla željena nejednakost, nužno je $y(y+1)>0$. Analiziranjem kvadratne nejednadžbe, zaključujemo da mora vrijediti $y<-1$ ili $y>0$. Vrijednost broja $x$ u ovom slučaju bilo koja je vrijednost različita od $y$.

Konačno zaključujemo da je rješenje nejednadžbe skup parova $(x,y)$ za koje je $x=y$, gdje su oba broja $x,y$ bilo koji realni broj osim $-1$ i $0$, zajedno sa skupom svih parova $(x,y)$ za koje je $x\neq y$, za koje je $y\in\langle-\infty,-1\rangle\cup\langle0,+\infty\rangle$. Jednakost se postiže kad su $x,y$ međusobno jednaki, te različiti od $-1$ i $0$.

Jedan od načina zapisa rješenja nejednadžbe pomoću skupova je

$$(x,y)\in \left\{(t,t):t\in\mathbb R\setminus\{-1,0\}\right\} \cup \left\{(x,y):x\in\mathbb R,\ y\in\langle-\infty,-1\rangle\cup\langle0,+\infty\rangle\right\}.$$

Sa slike vidimo da kod zapisa unije konačnih parova $(x,y)$ koji zadovoljavaju nejednadžbu nije potrebno pisati da je $x\neq y$ u slučaju kada je $y\notin[-1,0]$.

Umjesto slučajeva promatrana u službenom rješenju, dva slučaja koja se mogu promatrati su $y(y+1)>0$ i $y(y+1)<0$.