6. Zadatak

Ako je $n$ prost broj, u tom slučaju jedini djelitelj $d$ veći od $1$ je $d=n$. Tvrdnja u tom slučaju očito vrijedi, dakle svi prosti brojevi su tajanstveni.

Pretpostavimo da je $n$ tajanstven složen broj i neka je $d$ neki njegov djelitelj različit od $1$ i $n$. Iz uvjeta zadatka, broj

$$A=\frac{n^2+d}{d^2+n}$$

je prirodan.

Neka je $e=\frac nd$. Primijetimo da je to također djelitelj broja $n$ veći od $1$.

Sređivanjem izraza $A$ dobivamo

$$A=\frac{n^2+d}{d^2+n} =\frac{d^2\cdot e^2+d}{d^2+d\cdot e} =\frac{d\cdot e^2+1}{d+e}.$$

Kako je $e$ djelitelj broja $n$, prema uvjetu u zadatku vrijedi i da je broj

$$B=\frac{n^2+e}{e^2+n}=\frac{e\cdot d^2+1}{d+e}$$

također prirodan.

Zbroj brojeva $A$ i $B$ također mora biti prirodan broj:

$$A+B=\frac{d\cdot e^2+1}{d+e}+\frac{e\cdot d^2+1}{d+e} =\frac{d\cdot e\cdot(d+e)+2}{d+e} =d\cdot e+\frac2{d+e}.$$

Zaključujemo da nužno vrijedi $d+e\mid2$. Kako su i $d$ i $e$ brojevi koji su veći od $1$, zaključujemo da je to nemoguće, čime smo dobili kontradikciju. Dakle, nijedan složeni broj nije tajanstven.

Tajanstveni brojevi su točno svi prosti brojevi.