5. Zadatak

Neka je $\overline{AB}$ promjer kružnice $k$ , a točka $O$ njeno središte. Neka je $C$ točka izvan kružnice $k$ na simetrali dužine $\overline{AB}$ . Dužina $\overline{AC}$ siječe kružnicu $k$ u točki $D$ . Ako je $|AB|=2$ i $|CD|=1$ , odredi $|OC|$ .

Rješenje

Prvo rješenje.

Crtež kružnice i točke na simetrali promjera

Kako je $|OD|=|CD|=1$ (dužina $\overline{OD}$ polumjer je kružnice $k$ ), trokut $OCD$ je jednakokračan pa vrijedi $\angle COD=\angle DCO$ .

Slično, zbog $|OA|=|OD|=1$ vrijedi da je trokut $OAD$ jednakokračan i $\angle OAD=\angle ODA$ .

Kako je $\angle AOC=90^\circ$ , slijedi $\angle AOD=90^\circ-\angle COD=90^\circ-\angle DCO$ .

S druge strane, iz pravokutnog trokuta $AOC$ vrijedi $\angle OAC=90^\circ-\angle DCO$ pa slijedi da je $\angle OAD=\angle AOD$ . U trokutu $AOD$ svi kutovi su jednaki, pa je jednakostraničan.

Sada možemo zaključiti da vrijedi $|AD|=1$ , tj. $|AC|=2$ .

Prema Pitagorinom poučku za trokut $AOC$ imamo $|OC|=\sqrt{|AC|^2-|OA|^2}=\sqrt3$ .

Drugo rješenje.

Označimo s $E$ i $F$ točke u kojima $OC$ siječe $k$ , tako da je $|CE|<|CF|$ . Posebno, $|EF|=2$ , budući da je ta dužina promjer kružnice $k$ .

Uvedimo oznake $|AD|=x$ , $|CE|=y$ .

Promatranjem potencije točke $C$ na kružnicu imamo

\begin{aligned} |CE|\cdot|CF|&=|CD|\cdot|CA|,\\ y(y+2)&=1\cdot(1+x). \end{aligned}

Primjenom Pitagorinog poučka za trokut $AOC$ imamo

\begin{aligned} |CO|^2+|AO|^2&=|AC|^2,\\ (y+1)^2+1^2&=(1+x)^2. \end{aligned}

Sređivanjem dobivenih jednadžbi dobivamo

\begin{aligned} (x+1)^2&=y^2+2y+2=y(y+2)+2=(1+x)+2,\\ x^2+2x+1&=x+3,\\ x^2+x-2&=0. \end{aligned}

Pozitivno rješenje dobivene kvadratne jednadžbe je $x=1$ .

Iz $y(y+2)=1\cdot(1+x)$ slijedi jednadžba $y^2+2y-2=0$ , kojoj je jedino pozitivno rješenje $y=\sqrt3-1$ . Prema tome, $|OC|=1+y=\sqrt3$ .