5. Zadatak

Budući da svako polje ima (najviše) 4 susjeda, broj obojanih susjeda pojedinog polja može biti $0$, $1$, $2$, $3$ ili $4$.

Označimo s $n_k$ broj polja s $k$ obojanih susjeda.

Neka je $N$ ukupan broj zajedničkih stranica između dvaju susjednih obojanih polja.

Izračunamo li

$$n_1+2n_2+3n_3+4n_4$$

dobit ćemo $2N$ jer smo svaku zajedničku stranicu brojali točno dvaput.

Dakle,

$$\begin{aligned} N&=\frac12(n_1+2n_2+3n_3+4n_4)\\ &=\frac12(n_1+n_3)+n_2+n_3+2n_4. \end{aligned}$$

Budući da je $N$ prirodni broj, broj $n_1+n_3$ mora biti paran.

Zato je nemoguće obojati $125$ polja tako da svako od njih ima neparan broj obojanih susjeda (tj. jednoga ili tri), jer je tada $n_1+n_3=125$ neparan broj.