2. Zadatak

Označimo s $V$ volumen tetraedra, sa $S$ njegovo oplošje, a s $B_1$, $B_2$, $B_3$ i $B_4$ površine njegovih strana (koje odgovaraju visinama $v_1$, $v_2$, $v_3$ i $v_4$, redom). Vrijedi $S=B_1+B_2+B_3+B_4$ i

$$V=\frac13B_1v_1=\frac13B_2v_2=\frac13B_3v_3=\frac13B_4v_4.$$

S druge strane, uočimo da je tetraedar sastavljen od četiri manja tetraedra s osnovkama površina $B_i$ i visinama $r$, pa vrijedi:

$$\begin{aligned} V&=\frac13B_1r+\frac13B_2r+\frac13B_3r+\frac13B_4r\\ &=\frac13(B_1+B_2+B_3+B_4)\cdot r=\frac13S\cdot r. \end{aligned}$$

Iz $\frac13B_iv_i=\frac13Sr$ slijedi

$$\frac1{v_i}=\frac{B_i}{Sr}\qquad\text{za }i=1,2,3,4.$$

Konačno,

$$\frac1{v_1}+\frac1{v_2}+\frac1{v_3}+\frac1{v_4}=\frac{B_1+B_2+B_3+B_4}{Sr}=\frac{S}{Sr}=\frac1r.$$