1. Zadatak

Prvo rješenje.

Površine trokuta su:

$$P(ABC)=\frac12\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\sin(\alpha_1+\alpha_2),$$ $$P(ABD)=\frac12\cdot|AB|\cdot|AD|\cdot\sin\alpha_1,\qquad P(ADC)=\frac12\cdot|AD|\cdot|AC|\cdot\sin\alpha_2.$$

Budući da je $P(ABC)=P(ABD)+P(ADC)$ dobivamo

$$\frac12\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\sin(\alpha_1+\alpha_2)=\frac12\cdot|AB|\cdot|AD|\cdot\sin\alpha_1+\frac12\cdot|AD|\cdot|AC|\cdot\sin\alpha_2.$$

Dijeljenjem s $\frac12\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot|AD|$ dobivamo traženu jednakost.

Drugo rješenje.

Označimo $\angle ADB=\delta$. Tada je $\angle ADC=180^\circ-\delta$ i vrijedi $\sin\angle ADB=\sin\angle ADC=\sin\delta$.

Prema poučku o sinusima vrijedi:

$$\frac{\sin\alpha_1}{|BD|}=\frac{\sin\delta}{|AB|}\qquad\text{i}\qquad\frac{\sin\alpha_2}{|DC|}=\frac{\sin\delta}{|AC|}.$$

Odatle slijedi:

$$\begin{aligned} \frac{\sin\alpha_1}{|AC|}+\frac{\sin\alpha_2}{|AB|} &=\frac{\sin\alpha_1}{|BD|}\cdot\frac{|BD|}{|AC|}+\frac{\sin\alpha_2}{|DC|}\cdot\frac{|DC|}{|AB|}\\ &=\frac{\sin\delta}{|AB|}\cdot\frac{|BD|}{|AC|}+\frac{\sin\delta}{|AC|}\cdot\frac{|DC|}{|AB|}\\ &=\frac{\sin\delta}{|AB|\cdot|AC|}(|BD|+|DC|)=\frac{\sin\delta}{|AB|}\cdot\frac{|BC|}{|AC|}. \end{aligned}$$

Koristeći ponovno poučak o sinusima, tj. jednakosti

$$\frac{\sin\delta}{|AB|}=\frac{\sin\beta}{|AD|}\qquad\text{i}\qquad\frac{\sin\beta}{|AC|}=\frac{\sin\alpha}{|BC|},$$

dalje imamo

$$\begin{aligned} \frac{\sin\delta}{|AB|}\cdot\frac{|BC|}{|AC|} &=\frac{\sin\beta}{|AD|}\cdot\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{\sin\beta}{|AC|}\cdot\frac{|BC|}{|AD|}\\ &=\frac{\sin\alpha}{|BC|}\cdot\frac{|BC|}{|AD|}=\frac{\sin\alpha}{|AD|}, \end{aligned}$$

čime je dokazana tvrdnja.