7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $d(k)$ najveći neparni djelitelj broja $k$.

Ako je $k$ neparan, onda je $d(k)=k$.

Za bilo koji $k$ vrijedi $d(2k)=d(k)$.

Neka je

$$s(n)=d(n)+d(n+1)+\cdots+d(2n-1).$$

Označimo traženi zbroj sa

$$s(n)=d(2n-1)+d(2n-2)+s(n-1)-d(n-1).$$

Budući da je $d(2n-1)=2n-1$ i $d(2n-2)=d(n-1)$, zaključujemo da je

$$s(n)=s(n-1)+2n-1.$$

Slijedi da je

$$\begin{aligned} s(n)&=s(n-1)+2n-1\\ &=s(n-2)+(2n-3)+(2n-1)\\ &=\cdots\\ &=1+3+\cdots+(2n-1). \end{aligned}$$

Budući da vrijedi $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$, traženi zbroj je $s(n)=n^2$.