3. Zadatak

Prvo rješenje.

Za $n=1,2,3$ je $S_1=3$, $S_2=17$, $S_3=95$, te

$$\frac{S_1+1}{2!}=2,\qquad \frac{S_2+1}{3!}=3,\qquad \frac{S_3+1}{4!}=4.$$

Dokažimo matematičkom indukcijom da je

$$\frac{S_n+1}{(n+1)!}=n+1.$$

Baza:

$$\frac{S_1+1}{2!}=2=1+1.$$

Korak: pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj $n$. Tada je

$$\frac{S_{n+1}+1}{(n+2)!}=\frac{S_n+(n+1)!((n+1)^2+(n+1)+1)+1}{(n+2)!}.$$

Prema pretpostavci indukcije vrijedi $S_n+1=(n+1)(n+1)!$, pa slijedi

$$\begin{aligned} \frac{S_{n+1}+1}{(n+2)!} &=\frac{(n+1)(n+1)!+(n+1)!(n^2+3n+3)}{(n+2)!}\\ &=\frac{n^2+4n+4}{n+2}=n+2. \end{aligned}$$

Time je po principu matematičke indukcije dokazano $\frac{S_n+1}{(n+1)!}=n+1$ za svaki $n\in\mathbb{N}$.

Drugo rješenje.

Primijetimo da je $k^2+k+1=(k+1)^2-k$, pa je

$$k!(k^2+k+1)=(k+1)\cdot(k+1)!-k\cdot k!.$$

Zato je

$$\begin{aligned} S_n&=((n+1)\cdot(n+1)!-n\cdot n!)+(n\cdot n!-(n-1)\cdot(n-1)!)+\cdots+(2\cdot2!-1\cdot1!)\\ &=(n+1)\cdot(n+1)!-1\cdot1!. \end{aligned}$$

Dakle,

$$\frac{S_n+1}{(n+1)!}=n+1.$$