2. Zadatak

Prvo rješenje.

Želimo odrediti koeficijent uz $x^9$ u polinomu

$$(1+x^3+x^6)(1+x^3+x^6)\cdots(1+x^3+x^6),$$

gdje se zagrada pojavljuje $10$ puta.

Budući da koristeći pribrojnike $6$ i $3$ broj $9$ možemo prikazati samo kao $6+3$ i $3+3+3$, izmnožimo li sve zagrade u gornjem izrazu, $x^9$ možemo dobiti na jedan od sljedeća dva načina:

1. Iz jedne od $10$ zagrada odaberemo $x^6$, iz jedne od preostalih $9$ zagrada odaberemo $x^3$, te iz svih ostalih zagrada odaberemo $1$. To možemo na $10\cdot9=90$ načina.
2. Iz tri od $10$ zagrada odaberemo $x^3$, te iz preostalih odaberemo $1$. To možemo na $\binom{10}{3}=120$ načina.

Konačno rješenje je $90+120=210$.

Drugo rješenje.

Prema binomnom poučku vrijedi

$$(1+x^3+x^6)^{10}=((1+x^3)+x^6)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}(1+x^3)^{10-k}x^{6k}.$$

Pribrojnici za koje je $k\ge2$ ne doprinose koeficijentu $x^9$.

Za $k=0$ imamo $(1+x^3)^{10}$ i koeficijent uz $x^9$ je $\binom{10}{3}=120$.

Za $k=1$ imamo $10(1+x^3)^9x^6$ i koeficijent uz $x^9$ je $10\cdot9=90$.

Konačno rješenje je $90+120=210$.

Na sličan način do rješenja se može doći primjenom binomnog poučka na izraze $((x^3+x^6)+1)^{10}$ i $((1+x^6)+x^3)^{10}$.