5. Zadatak

Prvo rješenje.

Dokazat ćemo da ako je $n$ složen broj, onda je to i $R_n$.

Neka je $n$ složen broj. Zapišimo ga u obliku $n=mk$, gdje su $m$ i $k$ prirodni brojevi veći od $1$.

Uočimo da se dekadski zapis broja $R_n$ sastoji od $k$ blokova koji sadrže $m$ jedinica:

$$R_n=\underbrace{111\ldots11}_{n\ \text{jedinica}}=\underbrace{111\ldots11}_{m\ \text{jedinica}}\underbrace{111\ldots11}_{m\ \text{jedinica}}\cdots\underbrace{111\ldots11}_{m\ \text{jedinica}}.$$

Gornji izraz sada možemo rastaviti na $k$ pribrojnika. Kad izlučimo $R_m=\underbrace{111\ldots11}_{m\ \text{jedinica}}$, dobivamo

$$R_n=R_m\cdot(10^{n-m}+10^{n-2m}+\cdots+10^m+1).$$

Budući da su oba faktora u posljednjem izrazu veća od $1$, slijedi da je $R_n$ složen broj.

Drugo rješenje.

Dokazat ćemo ekvivalentnu tvrdnju: ako je $n$ složen broj, onda je i $R_n$ složen.

Budući da se $R_n$ u svom dekadskom zapisu sastoji od $n$ jedinica, možemo ga zapisati kao

$$R_n=10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10+1=\frac{10^n-1}{9}.$$

Neka je $n$ složen, tj. $n=mk$ za neke prirodne brojeve $m$ i $k$ veće od $1$. Tada je

$$R_n=\frac{10^n-1}{9}=\frac{10^{mk}-1}{9}=\frac{(10^m)^k-1}{9}$$ $$=\frac{(10^m-1)(10^{m(k-1)}+10^{m(k-2)}+\cdots+10^m+1)}{9}$$ $$=\frac{(10-1)(10^{m-1}+10^{m-2}+\cdots+10+1)(10^{m(k-1)}+10^{m(k-2)}+\cdots+10^m+1)}{9}$$ $$=(10^{m-1}+10^{m-2}+\cdots+10+1)(10^{m(k-1)}+10^{m(k-2)}+\cdots+10^m+1).$$

Budući da su $m$ i $k$ oba veći od $1$, slijedi da su oba faktora u posljednjem izrazu veća od $1$, iz čega zaključujemo da je i $R_n$ složen broj.