3. Zadatak

Za $p=2$, $2^p+p^2=8$.

Za $p=3$, $2^p+p^2=17$.

Za svaki neparni prosti broj $p$, broj $2^p$ daje ostatak 2 pri dijeljenju s 3. ($2^p\equiv(3-1)^p\equiv(-1)^p\equiv-1\equiv2\pmod3$)

Za svaki prosti $p>3$, njegov kvadrat $p^2$ daje ostatak 1 pri dijeljenju s 3. ($p\equiv\pm1\pmod3\ \Rightarrow\ p^2\equiv1\pmod3$)

Dakle, za svaki prosti $p>3$, broj $2^p+p^2$ je djeljiv s 3 ($2^p+p^2\equiv2+1\equiv3\equiv0\pmod3$) pa ne može biti prost.

Stoga je jedini prosti broj koji zadovoljava uvjet zadatka $p=3$.