4. Zadatak

Točka $S$ je središte trokutu $ABC$ upisane kružnice, a simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$ . Dokaži da je $|AS|:|SD|=2:1$ ako i samo ako vrijedi $|CA|+|AB|=2|BC|$ .

Rješenje

Označimo s $a,b,c$ duljine stranica $\overline{BC},\overline{CA},\overline{AB}$ redom.

U zadatku treba dokazati dvije tvrdnje:

A. Ako je $|AS|:|SD|=2:1$ , onda vrijedi $b+c=2a$ .

B. Ako je $b+c=2a$ , onda vrijedi $|AS|:|SD|=2:1$ .

Trokut ABC sa središtem upisane kružnice S i točkom D

Prvo rješenje.

Površinu trokuta $XYZ$ označavat ćemo $P(XYZ)$ . Neka je $r$ polumjer upisane kružnice trokuta $ABC$ . Uočimo da je udaljenost točke $S$ od svih stranica trokuta jednaka $r$ .

Dokaz tvrdnje A.

Neka je $|AS|:|SD|=2:1$ .

Trokuti $ASB$ i $DSB$ imaju jednake visine iz vrha $B$ , pa je $P(ASB):P(BSD)=|AS|:|SD|=2$ , odnosno $P(ASB)=2P(BSD)$ .

Na isti način se pokaže $P(ASC)=2P(CSD)$ .

Zato vrijedi $P(ASC)+P(ASB)=2(P(CSD)+P(BSD))=2P(BSC),$ $\frac{b\cdot r}2+\frac{c\cdot r}2=2\cdot\frac{a\cdot r}2$ i konačno $b+c=2a$ .

Dokaz tvrdnje B.

Neka vrijedi $|CA|+|AB|=2|BC|$ , tj. $b+c=2a$ .

Tada vrijedi i $\frac{b\cdot r}2+\frac{c\cdot r}2=2\cdot\frac{a\cdot r}2$ , odnosno $P(ASC)+P(ASB)=2P(BCS).$

Toj jednakosti je ekvivalentno: $P(ASC)+P(ASB)=2(P(SDC)+P(SDB)),$ $\frac12|AS|v_c+\frac12|AS|v_b=2\left(\frac12|DS|v_c+\frac12|DS|v_b\right),$ gdje smo s $v_b,v_c$ označili udaljenosti vrhova $B,C$ od pravca $AD$ .

Dalje dobivamo $|AS|(v_b+v_c)=2|DS|(v_b+v_c),$ i konačno $|AS|=2|SD|$ , što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

U ovom rješenju koristimo teorem o simetrali kuta: Ako simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$ , onda je $|BD|:|DC|=|AB|:|AC|$ .

Kako je pravac $CS$ simetrala kuta $\angle ACD$ u trokutu $ADC$ , vrijedi $|AS|:|SD|=|AC|:|CD|$ .

Analogno, $BS$ je simetrala kuta $\angle ABD$ trokuta $ADB$ , pa vrijedi $|AS|:|SD|=|AB|:|BD|$ .

Dokaz tvrdnje A.

Neka vrijedi $|AS|:|SD|=2:1$ . Tada je $|AC|=2|CD|$ i $|AB|=2|BD|$ .

Zbrajanjem dobivamo $|CA|+|AB|=2|BC|$ .

Dokaz tvrdnje B.

Neka vrijedi $|CA|+|AB|=2|BC|$ .

Relacije koje vrijede zbog teorema o simetrali kuta možemo zapisati u obliku $|CA|=\frac{|AS|\cdot|CD|}{|SD|}\quad\text{i}\quad|AB|=\frac{|AS|\cdot|BD|}{|SD|}.$

Zbrajanjem dobivamo: $\begin{aligned} 2|BC|=|CA|+|AB|&=\frac{|AS|\cdot|CD|}{|SD|}+\frac{|AS|\cdot|BD|}{|SD|}\\ &=\frac{|AS|}{|SD|}(|CD|+|BD|)=\frac{|AS|}{|SD|}\cdot|BC|, \end{aligned}$ pa je $|AS|:|SD|=2:1$ .