5. Zadatak
Kvadratna ploča podijeljena je na jediničnih kvadrata (polja). Na nju postavljamo osam triomina, tako da samo jedno polje ploče ostane neprekriveno.
Triomino je lik sastavljen od tri jedinična kvadrata kao na slici:
Odredi koja sve polja dane kvadratne ploče mogu ostati neprekrivena pri takvom popločavanju.
Rješenje
Prvo rješenje.
Neprekriveno može ostati jedno od 9 polja označenih na slici:
Primjeri takvih prekrivanja dani su na sljedećim slikama
Dokažimo da neprekriveno polje mora biti jedno od navedenih 9 polja.
Svaki triomino postavljen na ploču prekriva najviše jedno od tih polja. No, polja ima 9, a triomina samo 8, pa će (po Dirichletovom principu) jedno od tih polja ostati neprekriveno.
Drugo rješenje.
Zbog simetrije ploče, možemo uočiti šest različitih tipova polja.
Označimo ih slovima i , kao na slici:
Polja tipa i prilikom prekrivanja danim triominima mogu ostati prazna.
Primjeri takvih prekrivanja su dani na slikama uz prvo rješenje.
Polja tipa i ne mogu ostati neprekrivena.
Kad bi polje tipa ostalo neprekriveno, jedan triomino morao bi biti postavljen u položaj na lijevoj slici (ili njemu simetričan).
No, tada bi polje označeno zvjezdicom bilo nemoguće prekriti.
Kad bi polje tipa ili ostalo neprekriveno, jedan triomino morao bi biti postavljen u položaj na slici (gore; sredina i desno).
U oba slučaja dalje nastavljamo na isti način.
Polje sa zvjezdicom može biti prekriveno jedino na sljedeća tri načina:
U prvom slučaju prekrivanje očito nije moguće dovršiti, a u drugom i trećem slučaju položaj još jednog triomina je određen.
U tim slučajevima, postavljanjem prva tri triomina prekrili smo 3 od 4 polja lijevog gornjeg kvadrata , i sva polja gornjeg desnog pravokutnika na slici.
Sličnim zaključivanjem kao prije vidimo da dva triomina treba upotrijebiti da bismo prekrili donji lijevi pravokutnik .
No, istim zaključivanjem dolazimo do zaključka da dva triomina trebaju prekriti pravokutnik u sredini dolje, ali onda ostaje pravokutnik koji je nemoguće prekriti triominom.