4. Zadatak

Pretpostavimo da smo kocku sastavili od $a$ posuda i $b$ štapića. Kako je posuda sastavljena od $17$ jediničnih kockica, a štapić od dvije, vrijedi

$$17a+2b=303^3.$$

Želimo minimizirati izraz $a+b$. Kako je posuda sastavljena od više jediničnih kockica nego štapić, potrebno je naći ono sastavljanje koje koristi najviše moguće posuda.

Za neku posudu promotrimo rupu nastalu uklanjanjem kockice $1\times1\times1$ iz sredine neke od njezinih polovica. Rupa svake posude koja se nalazi u velikoj kocki također se nalazi u toj kocki, pa mora biti popunjena nekim tijelom. Tu rupu moguće je pokriti samo štapićem.

S druge strane, svaki štapić može popuniti tu rupu najviše dvjema posudama. Zato mora vrijediti $a\leq2b$.

Uvrštavanjem te nejednakosti u jednakost s početka, dobivamo

$$303^3=17a+2b\geq18a,$$

odakle je

$$a\leq\frac{303^3}{18}=\frac{3090903}{2}.$$

Kako je $a$ prirodan broj, zaključujemo dodatno da je

$$a\leq\frac{3090902}{2}=1545451.$$

Dokažimo da je moguće sastaviti kocku koristeći točno $1545451$ posuda.

Nazovimo blok tijelo dimenzija $3\times3\times4$ sastavljeno od dvije posude i jednog štapića koji ispunjava njihove dvije rupe. Prvo koristeći $101\cdot101\cdot75$ takvih blokova popunimo donji dio kocke dimenzija $303\times303\times300$.

Nakon toga, od preostalog dijela kocke dimenzija $303\times303\times3$ ispunimo lijevi dio kocke dimenzija $303\times300\times3$ koristeći $101\cdot75$ blokova, a onda od preostalog dijela dimenzija $303\times3\times3$ iskoristimo $75$ blokova kako bismo prekrili još dio kocke dimenzija $300\times3\times3$.

Preostalo je prekriti kocku dimenzija $3\times3\times3$. Na njezino dno stavimo posudu s rupom prema gore, a u tu rupu stavimo jedan štapić. U najvišem retku preostalih osam mjesta oko jedne kockice posljednjeg štapića posložimo još četiri štapića.

Ukupno smo iskoristili

$$101\cdot101\cdot75+101\cdot75+75=772725$$

blokova. Za njihovo stvaranje bilo je potrebno $1545450$ posuda i $772725$ štapića. Nakon toga iskoristili smo još jednu posudu i $5$ štapića. Ukupan broj iskorištenih posuda je $1545451$, što je prema gornjem dijelu dokaza uistinu najveći broj posuda koje možemo iskoristiti.

Ukupan broj iskorištenih tijela iznosi

$$1545451+772730=2318181,$$

i to je najmanji broj tijela koji nam je potreban da bismo složili cijelu kocku dimenzija $303\times303\times303$.