1. Zadatak

Kako jednadžba ima barem jedno realno rješenje, vrijedi $b^2-4ac\geq0$.

Budući da su $a$, $b$ i $c$ uzastopni brojevi (u nekom poretku), brojevi $a$ i $c$ iznose barem $b-1$ i $b-2$, pa vrijedi $4ac\geq4(b-1)(b-2)$.

Uvrštavanjem imamo

$$0\leq b^2-4ac\leq b^2-4(b-1)(b-2)=-3b^2+12b-8=-3(b-1)(b-3)+1.$$

Za $b>3$ vrijedi $3(b-1)(b-3)>9$, odnosno $-3(b-1)(b-3)+1<0$. Zato mora vrijediti $b\leq3$.

S druge strane, $b$ je prirodan, pa je nejednakost $b^2\geq4ac$ ekvivalentna nejednakosti $b^3\geq4abc$. Najmanji mogući umnožak tri uzastopna prirodna broja je $abc=1\cdot2\cdot3=6$, pa mora vrijediti $b^3\geq24$, odakle je $b\geq3$. Zajedno s gornjim zaključkom, dobili smo da je nužno $b=3$.

Konačno, pretpostavimo da $a$, $b$, $c$ nisu brojevi $1$, $2$, $3$ u nekom poretku. Tada je $abc\geq2\cdot3\cdot4=24$, pa bi moralo vrijediti $27=b^3\geq4abc=96$, što nije istina. Dakle, $a$ i $c$ su brojevi $1$ i $2$ u nekom poretku.

Dobili smo jednadžbe $x^2+3x+2=0$ i $2x^2+3x+1=0$. Objema jednadžbama je diskriminanta $b^2-4ac=1$ pozitivna, a provjerom vidimo da im je broj $-1$ jedno rješenje.