3. Zadatak

Pretpostavimo prvo da vrijedi $k=m$. Tada je

$$2022^k+2022^m=2\cdot2022^k=2^{k+1}\cdot3^k\cdot337^k.$$

Da bi to bio kvadrat prirodnog broja, brojevi $k+1$ i $k$ moraju biti parni, što je očito nemoguće.

Prema tome, vrijedi $k\neq m$ i bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti $k<m$.

Pretpostavimo da vrijedi $2022^k+2022^m=a^2$ za neki prirodan broj $a$. Tada je

$$a^2=2022^k(2022^{m-k}+1).$$

Brojevi $2022^k$ i $2022^{m-k}+1$ su relativno prosti, pa svaki od njih zasebno mora biti potpun kvadrat.

Označimo $t=m-k$, te neka je $b$ prirodan broj takav da je $b^2=2022^{m-k}+1$. Tada je

$$2^t\cdot3^t\cdot337^t=2022^t=b^2-1=(b-1)(b+1).$$

Najveći zajednički djelitelj brojeva $b+1$ i $b-1$ dijeli njihovu razliku koja iznosi $2$. Također, to su brojevi iste parnosti, čiji je umnožak paran broj. Zaključujemo da je najveći zajednički djelitelj tih brojeva jednak $2$. Zato prost broj $337$ dijeli točno jedan od brojeva $b-1$ i $b+1$, pa onda i $337^t$ u potpunosti dijeli taj broj.

Ako vrijedi $337^t\mid b-1$, imamo $b+1\geq b-1\geq337^t$, iz čega slijedi

$$2022^t=(b-1)(b+1)\geq337^{2t},$$

odakle bi trebalo vrijediti $2022\geq337^2$, čime dolazimo do kontradikcije.

Ako vrijedi $337^t\mid b+1$, imamo $b+1\geq337^t$ i $b-1\geq337^t-2$, iz čega slijedi

$$2022^t\geq337^{2t}-2\cdot337^t,$$

odakle slijedi $6^t\geq337^t-2$, što ne vrijedi ni za koji prirodan broj $t$.

U oba slučaja došli smo do kontradikcije, pa ne postoje traženi brojevi $k$ i $m$.