4. Zadatak

Tražena nejednakost je ekvivalentna s

$$a^3+b^3+c^3-3abc\ge9k.$$

Vrijedi

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

Brojevi $|a-b|$, $|b-c|$ i $|c-a|$ ne mogu svi biti jednaki $1$ pa je

$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca =\frac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr) \ge\frac12(1^2+1^2+2^2)=3.$$

Slijedi

$$a^3+b^3+c^3-3abc\ge3(a+b+c).$$

Kako je

$$\begin{aligned} (a+b+c)^2&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\\ &=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3(ab+bc+ac)\\ &\ge3+3(3k^2-1)=9k^2, \end{aligned}$$

slijedi $a+b+c\ge3k$ pa je $a^3+b^3+c^3-3abc\ge9k$.