3. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo $\angle ABP=\angle BCP=\varphi$ i $\angle PBC=\angle PCA=\psi$. Neka je točka $T$ polovište dužine $AC$. Kako je $AC$ hipotenuza pravokutnog trokuta $APC$, vrijedi $|AT|=|PT|=|CT|$. Stoga vrijedi $\angle CPT=\angle PCA=\psi$.

S obzirom da je $\angle DPC$ vanjski kut trokuta $BCP$, vrijedi

$$\angle DPC=\angle PCB+\angle PBC=\varphi+\psi$$

pa je $\angle DPT=\varphi$. Primjenom poučka o sinusima u trokutima $ABD$ i $PDT$ dobije se

$$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{\sin\angle ABD}{\sin\angle ADB} \quad\text{i}\quad \frac{|DT|}{|PT|}=\frac{\sin\angle DPT}{\sin\angle PDT}.$$

Zato je

$$\frac{|AD|}{|AB|} =\frac{\sin\angle ABD}{\sin\angle ADB} =\frac{\sin\varphi}{\sin(180^\circ-\angle ADB)} =\frac{\sin\angle DPT}{\sin\angle PDT} =\frac{|DT|}{|PT|}.$$

Odatle slijedi

$$\frac{|AD|}{|AC|} =\frac{|AD|}{|AB|} =\frac{|DT|}{|PT|} =\frac{|AT|-|AD|}{|PT|} =\frac{\frac12|AC|-|AD|}{\frac12|AC|} =1-2\cdot\frac{|AD|}{|AC|},$$

pa je $|AD|:|AC|=1:3$. Konačno, traženi omjer je $|AD|:|CD|=1:2$.

Drugo rješenje.

Dopunimo trokut $ABC$ do pravokutnog trokuta $BCS$ kojem je točka $A$ polovište hipotenuze $BS$. Neka pravac $BD$ siječe dužinu $CS$ u točki $K$.

Trokut $ABC$ je jednakokračan pa zbog danog uvjeta vrijedi i $\angle ACP=\angle CBP$. Nadalje vrijedi

$$\angle PAC=90^\circ-\angle ACP=90^\circ-\angle PBC=90^\circ-\angle KBC=\angle BKC=\angle PKC.$$

Stoga je četverokut $PCKA$ tetivan. Zato je $\angle AKC=180^\circ-\angle APC=90^\circ$ pa zaključujemo da je $AK\parallel BC$. Stoga je $AK$ srednjica trokuta $BCS$, a točka $K$ polovište dužine $CS$. Dužine $AC$ i $BK$ su težišnice trokuta $BCS$, pa je njihovo sjecište $D$ težište tog trokuta. Sada je jasno da je $|AD|:|DC|=1:2$.