5. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo suprotno od tvrdnje zadatka, da svaki $2\times2$ kvadrat sadrži paran broj crnih polja. Usporedimo dva susjedna retka. Ako je prvo polje u donjem retku iste boje kao prvo polje u gornjem retku (recimo crna), onda su i druga polja u tim recima iste boje (bilo crne, bilo bijele). Na isti način zaključujemo dalje te vidimo da su ta dva retka potpuno jednako obojana. Ako je prvo polje u donjem retku suprotne boje od prvog polja u gornjem retku, onda su i druga polja u tim retcima suprotnih boja. Istim zaključivanjem vidimo da će boja svakog polja donjeg retka biti suprotna od boje odgovarajućeg polja gornjeg retka.

Iz toga slijedi da su svi retci koji počinju crnim poljem međusobno jednaki, kao i svi retci koji počinju bijelim poljem. Neka je

$$\begin{aligned} a&\text{ -- broj redaka koji počinju crnim poljem},\\ 1000-a&\text{ -- broj redaka koji počinju bijelim poljem}. \end{aligned}$$

Neka je $d$ razlika broja crnih i broja bijelih polja u recima koji počinju crnim poljem. Tada razlika broja crnih i bijelih polja u recima koji počinju bijelim poljem iznosi $-d$. Razlika između ukupnog broja crnih polja na ploči i ukupnog broja bijelih polja iznosi

$$a\cdot d+(1000-a)\cdot(-d)=2ad-1000d=(2a-1000)d.$$

Stoga mora biti $(2a-1000)d=2012$. Uočimo da je broj $d$ paran, jer je ukupan broj crnih i bijelih polja u svakom retku jednak $1000$. Također, očito je $d\le1000$. Zato iz $(a-500)d=2\cdot503$ slijedi $d=2$ pa je $a=1003$, no to očito nije moguće.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo suprotno od tvrdnje zadatka, da svaki $2\times2$ kvadrat sadrži paran broj crnih polja. Uočimo bilo koja dva susjedna različito obojena polja. Uzmimo, bez smanjenja općenitosti, da se nalaze u istom retku. Uočimo stupce koji sadrže ta dva polja. Pokazat ćemo da se u ta dva stupca, u svakom retku, nalaze dva različito obojena polja.

Naime, u $2\times2$ kvadratu koji tvore ta dva polja i dva polja u retku ispod (iznad) moraju biti dva crna i dva bijela polja, pa se npr. ispod (iznad) kombinacije $CB$ može nalaziti samo $CB$ ili $BC$, a nikako ne $BB$ ili $CC$. Analogno možemo zaključivati i dalje pa vidimo da se isto ponavlja do dna (i do vrha) promatranih dvaju susjednih stupaca pa se u svakom retku nalazi po jedno bijelo i jedno crno polje.

Stoga je ukupan broj crnih polja u promatranim dvama susjednim stupcima jednak broju bijelih polja u tim stupcima. Izbacimo li ta dva stupca, za ostatak ploče i dalje će vrijediti da je broj crnih polja za $2012$ veći od broja bijelih polja. Neka je izbacivanjem stupaca u kojima se nalaze polja $A$, $B$, $C$ i $D$ nastao kvadrat koji se sastoji od polja $X$, $Y$, $Z$ i $W$ (vidi sliku).

Ukoliko s $n(K,L,M,N)$ označimo broj crnih polja u kvadratu s poljima $K,L,M,N$, tada vrijedi:

$$n(X,Y,Z,W)=n(X,Y,A,B)+n(C,D,Z,W)-n(A,B,C,D).$$

Prema pretpostavci, svaki od pribrojnika na desnoj strani je paran pa zaključujemo da je i broj $n(X,Y,Z,W)$ paran. Time je dokazano da naša pretpostavka vrijedi i za novu ploču, tj. da svaki od novonastalih kvadrata $2\times2$ također ima paran broj crnih polja.

Možemo nastaviti na isti način s izbacivanjem dvaju susjednih stupaca ili redaka dok god postoje dva susjedna polja različite boje. Na kraju ćemo imati pravokutnu ploču s $2012$ polja koja su sva crne boje.

No, ta ploča ima parni broj redaka i parni broj stupaca (jer smo uvijek brisali po dva stupca ili dva retka). Kako je $2012=2^2\cdot503$, a $503$ je prost broj, ploča bi morala biti dimenzija $2\times1006$. To je naravno nemoguće jer je dimenzija dane ploče $1000\times1000$.