2. Zadatak

Dana jednadžba je ekvivalentna s

$$x^2y-x^2+xy^2-y^2=1$$ $$xy(x+y)-(x^2+y^2)=1$$ $$xy(x+y)-((x+y)^2-2xy)=1.$$

Uvedemo li nove nepoznanice $u=x+y$, $v=xy$ dobivamo jednadžbu:

$$uv-(u^2-2v)=1$$

iz koje slijedi $uv+2v=u^2+1$ odnosno

$$v=\frac{u^2+1}{u+2}=\frac{u^2-4+5}{u+2}=u-2+\frac5{u+2}.$$

Sada vidimo da $u+2$ mora biti djelitelj broja $5$, pa imamo četiri slučaja:

$u+2$	$5$	$1$	$-1$	$-5$
$\frac5{u+2}$	$1$	$5$	$-5$	$-1$
$u$	$3$	$-1$	$-3$	$-7$
$v$	$2$	$2$	$-10$	$-10$

Sada zbog Vièteovih formula znamo da su $x,y$ rješenja kvadratnih jednadžbi:

$$z^2-3z+2=0 \tag{1}$$ $$z^2+z+2=0 \tag{2}$$ $$z^2+3z-10=0 \tag{3}$$ $$z^2+7z-10=0 \tag{4}$$

Rješenja prve jednadžbe su $1$ i $2$, a rješenja treće $-5$ i $2$. Rješenja druge jednadžbe nisu realna jer joj je diskriminanta negativna, dok su rješenja četvrte jednadžbe iracionalna jer njena diskriminanta $89$ nije potpun kvadrat.

Konačno, tražena rješenja su $(x,y)\in\{(1,2),(2,1),(2,-5),(-5,2)\}$.