1. Zadatak

Kako je $\angle MAB=\angle CAB-\angle CAM$, po adicijskom teoremu za sinus imamo

$$\sin(\angle MAB)=\sin(\angle CAB)\cos(\angle CAM)-\cos(\angle CAB)\sin(\angle CAM).$$

Uz oznake $|BC|=a$, $|CA|=b$, $|AB|=c$ i $|AM|=t$, iz pravokutnih trokuta $ABC$ i $AMC$ dobivamo

$$\sin(\angle MAB)=\frac ac\cdot\frac bt-\frac bc\cdot\frac{a/2}{t}=\frac{ab}{2ct}.$$

Kako je $\angle MAB$ šiljasti kut, njegov sinus je pozitivan, pa je dovoljno dokazati da vrijedi

$$(\sin(\angle MAB))^2\le\frac19,\qquad \frac{a^2b^2}{4c^2t^2}\le\frac19.$$

Budući da je $c^2=a^2+b^2$ i $t^2=\frac{a^2}{4}+b^2$, to je ekvivalentno s

$$9a^2b^2\le(a^2+b^2)(a^2+4b^2)$$

odnosno

$$(a^2-2b^2)^2\ge0.$$

Sada je jasno da zadana nejednakost vrijedi u svakom pravokutnom trokutu. Jednakost se postiže kada je $a^2=2b^2$, tj. u pravokutnim trokutima u kojima vrijedi $|BC|=|AC|\sqrt2$.