3. Zadatak

Prvo rješenje.

Točke koje se nalaze bliže točki $A$ nego točki $P$ su one točke koje se nalaze s točkom $A$ u istoj poluravnini određenoj simetralom dužine $AP$.

Neka ta simetrala siječe pravce $AB$ i $CD$ u točkama $M$ i $N$, redom. Tražimo omjer površina trapeza $AMND$ i pravokutnika $ABCD$.

Neka je $O(0,0)$ i $E(0,1)$. Uočimo da pravac $MN$ dijeli kvadrat $OBCE$ na dva sukladna trapeza jer prolazi kroz njegovo središte $S(\frac12,\frac12)$, pa trapez $OMNE$ ima površinu $\frac12$. Zato površina trapeza $AMND$ iznosi $\frac32$.

Površina pravokutnika $ABCD$ iznosi $2$, pa je tražena vjerojatnost

$$\frac{\frac32}{2}=\frac34=75\%.$$

Drugo rješenje.

Udaljenosti točke $T(x,y)$ od točaka $A$ i $P$ su redom

$$|AT|=\sqrt{(x+1)^2+y^2}\qquad\text{i}\qquad |PT|=\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}.$$

Točka $T$ je bliža točki $A$ nego točki $P$ ako i samo ako vrijedi

$$(x+1)^2+y^2<(x-2)^2+(y-1)^2,$$

tj. ako i samo ako vrijedi

$$y<-3x+2.$$

Neka prava čija je jednadžba $y=-3x+2$ siječe pravce $AB$ ($y=0$) i $CD$ ($y=1$) redom u točkama $M$ i $N$. Točka $M$ ima koordinate $(\frac23,0)$, a točka $N$ ima koordinate $(\frac13,1)$.

Tražimo omjer površina trapeza $AMND$ i pravokutnika $ABCD$. Površina trapeza $AMND$ iznosi

$$P(AMND)=\frac12\left(\frac53+\frac43\right)\cdot1=\frac32.$$

Budući da površina pravokutnika $ABCD$ iznosi $2$, tražena vjerojatnost je

$$\frac{\frac32}{2}=\frac34.$$