1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $b$ tražena baza brojevnog sustava. Jednakost u zadatku je ekvivalentna jednakosti

$$(b+1)(2b+2)(3b+3)=b^4+3b^3+3b^2+b.$$

Izraz možemo srediti izlučivanjem faktora na lijevoj strani, te primjenom formule za kub binoma na desnoj strani:

$$6(b+1)^3=b(b+1)^3.$$

Budući da $b$ ne može biti $-1$, slijedi $b=6$.

Drugo rješenje.

Neka je $b$ tražena baza brojevnog sustava. Broj $b$ mora biti prirodni broj veći od $3$.

Ako je $b=4$, onda lijeva strana iznosi $5\cdot10\cdot15$, a desna $500$, što nije jednako. Ako je $b=5$, onda lijeva strana iznosi $6\cdot12\cdot18$, a desna $1080$, što nije jednako. Zaključujemo da $b$ ne može biti ni $4$ ni $5$.

Ako je $b=6$, onda lijeva strana iznosi $7\cdot14\cdot21$, a desna $2058$ i ti brojevi su jednaki. Dakle, $b=6$ je jedno rješenje.

Ako je $b\ge7$, onda je zadnja znamenka broja na lijevoj strani jednakosti $6$, dok je s desne strane zadnja znamenka $0$. To nije moguće.

Zaključujemo da je $b=6$ jedino rješenje.