7. Zadatak

Neka su $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$ i $(x_C,y_C)$ redom koordinate točaka $A$, $B$ i $C$. Vrijedi

$$x_Ay_A=x_By_B=x_Cy_C=1.$$

Pravac $AB$ ima koeficijent smjera

$$\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\frac1{x_B}-\frac1{x_A}}{x_B-x_A}=-\frac1{x_Ax_B},$$

pa jednadžba pravca koji sadrži visinu trokuta $ABC$ iz vrha $C$ glasi

$$y-y_C=x_Ax_B(x-x_C).$$

Analogno, jednadžba pravca koji sadrži visinu trokuta $ABC$ iz vrha $B$ glasi

$$y-y_B=x_Ax_C(x-x_B).$$

Presjek ta dva pravca je točka $(x_0,y_0)$ koja zadovoljava obje jednadžbe. Za apscisu vrijedi

$$y_B+x_Ax_Cx_0-x_Ax_Cx_B=y_C+x_Ax_Bx_0-x_Ax_Bx_C,$$

tj.

$$y_B-y_C=x_0x_A(x_B-x_C).$$

Dakle, apscisa ortocentra je

$$x_0=\frac1{x_A}\cdot\frac{y_B-y_C}{x_B-x_C}=-\frac1{x_Ax_Bx_C}.$$

Iz jednadžbe pravca koji sadrži visinu računamo ordinatu ortocentra:

$$\begin{aligned} y_0&=y_C+x_Ax_B(x_0-x_C)\\ &=\frac1{x_C}-x_Ax_B\left(\frac1{x_Ax_Bx_C}+x_C\right)\\ &=-x_Ax_Bx_C. \end{aligned}$$

Dakle, vrijedi

$$x_0y_0=-\frac1{x_Ax_Bx_C}\cdot(-x_Ax_Bx_C)=1,$$

tj. ortocentar trokuta $ABC$ također leži na krivulji čija je jednadžba $xy=1$.