1. Zadatak

Kako je $n$ prirodan broj, uočimo da su sve vrijednosti dobro definirane. Budući da mora vrijediti $\log_2n>0$ i $\log_4n>0$, slijedi da je $n\neq1$, odnosno da je $n$ veći od $1$.

Uočimo da sve izraze možemo zapisati koristeći logaritam s bazom $2$:

$$\log_4n=\log_{2^2}n=\frac12\log_2n,\qquad 3=\log_28.$$

Duljine stranica zadovoljavaju nejednakost trokuta, odnosno vrijedi

$$\log_2n+\log_4n>3,qquad \log_2n+3>\log_4nqquad\text{i}\qquad\log_4n+3>\log_2n.$$

Iz prve nejednakosti imamo $\log_2n+\frac12\log_2n>3$, odnosno $\log_2n>2$, odakle je $n>4$.

Iz druge nejednakosti imamo $\log_2n+\log_28>\frac12\log_2n$, odnosno $\log_2 8n>\log_2\sqrt n$. Slijedi $8n>\sqrt n$, odakle je $n>\frac1{64}$.

Iz treće nejednakosti imamo $\frac12\log_2n+\log_28>\log_2n$, odnosno $\frac12\log_2n<\log_28$. Slijedi $n<64$.

Uzimajući u obzir sve tri nejednakosti, mora vrijediti $4<n<64$, pa zaključujemo da je ukupno $59$ takvih prirodnih brojeva.