2. Zadatak

Pretpostavimo da je $a+b$ neparan broj. To znači da su $a$ i $b$ različite parnosti. Iz jednadžbe zaključujemo da je tada $\tau(a)$ nužno neparan broj, što je moguće tek ako je $a$ potpun kvadrat prirodnog broja.

Ako je $a=1$, tada jednadžba postaje $1+1=b^2+2$, što nema rješenja u prirodnim brojevima.

Neka je nadalje $a=c^2$, gdje je $c>1$ prirodan broj. Jednadžba postaje

$$c^2+\tau(c^2)=b^2+2.$$

Neki djelitelji broja $c^2$ su $1,c$ i $c^2$, pa sigurno vrijedi $\tau(c^2)\geq3$. Iz gornje jednadžbe imamo $b^2+2=a+\tau(a)\geq a+3=c^2+3$, odakle je nužno $b^2\geq c^2+1$, odnosno $b\geq c+1$. Uvrštavajući to u gornju jednadžbu, dobivamo

$$\tau(c^2)=b^2+2-c^2\geq2c+3.$$

Broj $c$ djelitelj je broja $c^2$. Promotrimo preostale njegove djelitelje, razlikujući one manje od $c$ i veće od $c$. Kako postoji $c-1$ brojeva manjih od $c$, najviše je toliko djelitelja od $c^2$ manjih od $c$. S druge strane, za svaki djelitelj $d$ broja $c^2$ veći od $c$ broj $\frac{c^2}{d}$ djelitelj je broja $c^2$ manji od $c$, pa je i broj djelitelja broja $c^2$ većih od $c$ također manji od $c-1$. Dobivamo

$$\tau(c^2)\leq(c-1)+1+(c-1)=2c-1.$$

Time dobivamo kontradikciju, pa zaključujemo da je $a+b$ nužno paran.