4. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da za neki prirodan broj $n$ postoje realni brojevi $x_1,x_2,\ldots,x_n$ koji zadovoljavaju dane uvjete. Kako je $1\leq x_i\leq4$, vrijedi nejednakost

$$(4-x_i)\left(1-\frac1{x_i}\right)\geq0,$$

gdje jednakost vrijedi ako i samo ako je $x_i$ jednak $1$ ili $4$. Zbrajajući za sve $i$, dobivamo

$$4n-(x_1+x_2+\ldots+x_n)-4\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots+\frac1{x_n}\right)+n\geq0.$$

S druge strane, iz uvjeta zadatka slijedi

$$4n-(x_1+x_2+\ldots+x_n)-4\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots+\frac1{x_n}\right)+n\leq4n-\frac73n-\frac83n+n=0.$$

Zaključujemo da nužno vrijedi jednakost, što je moguće tek ako su svi $x_i$ iz skupa $\{1,4\}$.

Od $n$ brojeva $x_1,\ldots,x_n$ neka ih $a\geq0$ poprima vrijednost $1$, a $b\geq0$ poprima vrijednost $4$. Tada je $a+b=n$, te vrijedi

$$a+4b=x_1+x_2+\ldots+x_n\geq\frac73n=\frac73a+\frac73b,$$ $$a+\frac14b=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\ldots+\frac1{x_n}\geq\frac23n=\frac23a+\frac23b.$$

Iz prve nejednakosti slijedi $5b\geq4a$, a iz druge slijedi $4a\geq5b$, odakle zaključujemo da je $4a=5b$. Najmanji prirodan broj $n$ za koji postoje takvi $a$ i $b$ je jednak $9$ (kada je $a=5$, $b=4$).

Za $n=9$ te realne brojeve $x_1,\ldots,x_n$ takve da je pet među njima jednako $1$, a četiri od njih je jednako $4$ zadovoljavaju uvjete zadatka, pa je to zaista najmanji takav prirodan broj.

Drugo rješenje.

Nazovimo neku $n$-torku realnih brojeva $(x_1,\ldots,x_n)$ dobrom ako zadovoljava uvjete zadatka.

Uzmimo neki $n$ i neku njegovu dobru $n$-torku. Neka su $x_i$ i $x_j$ dva broja različita od $1$ i $4$, te neka je $x_i\leq x_j$. Promotrimo $n$-torku u kojoj smo $x_i$ i $x_j$ zamijenili s $x_i-t$ i $x_j+t$, za dovoljno mali $t>0$. Zbroj članova nove $n$-torke očito je nepromijenjen, a zbroj recipročnih vrijednosti se povećao jer vrijedi

$$\frac1{x_i-t}+\frac1{x_j+t}=\frac{(x_j+t)+(x_i-t)}{(x_i-t)(x_j+t)}=\frac{x_j+x_i}{x_ix_j-t(t+x_j-x_i)}\geq\frac{x_j+x_i}{x_ix_j}=\frac1{x_i}+\frac1{x_j}.$$

Dakle, novodobivena $n$-torka također je dobra. Uzmimo $t>0$ takav da je $x_i-t=1$ ili $x_j+t=4$, tako da svi članovi $n$-torke ostanu u skupu $[1,4]$. Nakon toga, ponavljajmo postupak, svaki put uzimajući dva broja $x_i$ i $x_j$ od kojih nijedan nije jednak $1$ ili $4$, i mijenjajući jednog u $1$ ili $4$. Na kraju dobivamo dobru $n$-torku u kojoj su svi članovi osim najviše jednog jednaki $1$ ili $4$.

Zaključujemo da ako za neki $n\in\mathbb N$ postoji dobra $n$-torka, onda postoji i dobra $n$-torka u kojoj su svi članovi osim možda jednog jednaki $1$ ili $4$.

Za takvu $n$-torku $(x_1,\ldots,x_n)$ provedimo postupak kao u prvom rješenju: neka je među njezinim članovima njih $A$ jednako $1$, njih $B$ jednako $4$, a preostali jednak $y\in[1,4]$. Vrijedi $A+B+1=n$, te

$$A+4B+y\geq\frac73A+\frac73B+\frac73$$

i

$$A+\frac14B+\frac1y\geq\frac23A+\frac23B+\frac23.$$

Zbrajajući dobivene nejednakosti, dobivamo

$$y+\frac4y\geq5,$$

što je ekvivalentno s $(y-1)(4-y)\leq0$. Kako je $y\in[1,4]$, zaključujemo da je i preostali broj $y$ nužno iz skupa $\{1,4\}$. Neka je bez smanjenja općenitosti $y=1$ (inače ažuriramo vrijednosti za $A$ i $B$). Gornje nejednakosti za $A$, $B$ i $y$ daju jednakost

$$5B+3=4A+7,$$

čije je najmanje rješenje u prirodnim brojevima $A=B=4$, pa kao u prvom rješenju zaključujemo da je najmanji takav $n$ jednak $9$.