1. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbrajanjem ovih jednadžbi dobivamo

$$x+y+z=0.$$

Odavde slijedi $z=-x-y$ i iz prve jednadžbe dobivamo

$$\begin{aligned} x^2-y&=(-x-y)^2,\\ x^2-y&=x^2+2xy+y^2,\\ 2xy+y^2+y&=0,\\ y(2x+y+1)&=0 \end{aligned}$$

pa je $y=0$ ili $2x+y+1=0$. Ako je $y=0$, slijedi $z=-x$ pa iz druge (ili treće) jednadžbe imamo $x(x-1)=0$, odakle je $x=0$ ili $x=1$. Odgovarajuća rješenja su $(x,y,z)=(0,0,0)$ i $(x,y,z)=(1,0,-1)$. Ako je $2x+y+1=0$ vrijedi $y=-2x-1$ pa imamo $z=-x-y=x+1$. Uvrštavanjem u treću jednadžbu dobivamo $x(x+1)=0$, odakle je $x=0$ ili $x=-1$. Odgovarajuća rješenja su $(x,y,z)=(0,-1,1)$ i $(x,y,z)=(-1,1,0)$. Dakle, rješenja danog sustava jednadžbi su

$$(x,y,z)\in\{(0,0,0),(1,0,-1),(0,-1,1),(-1,1,0)\}.$$

Drugo rješenje.

Zbrajanjem prve dvije jednakosti dobivamo $y^2-y-z-z^2=0$, tj. $(y-z-1)(y+z)=0$. Odavde zaključujemo da je $y-z=1$ ili $y+z=0$. Analogno vrijedi $z-x=1$ ili $z+x=0$, te $x-y=1$ ili $x+y=0$. Jednadžbe $y-z=1$, $z-x=1$ i $x-y=1$ zvat ćemo jednakosti prvog tipa, a jednadžbe $y+z=0$, $z+x=0$ i $x+y=0$ jednakosti drugog tipa. Zbog simetrije je dovoljno promotriti kombinacije u kojima se pojavljuje nula, jedna, dvije ili tri jednakosti prvog tipa.

Ako je $y+z=0$ i $z+x=0$, onda je $x=y$. Uz uvjet $x+y=0$ dobivamo rješenje $(x,y,z)=(0,0,0)$ i to pokriva slučaj s nula jednakosti prvog tipa. Uvjet $x-y=1$ je nemoguć, što pokriva slučaj s jednom jednakosti prvog tipa. Ako je $y+z=0$, $z-x=1$ i $x-y=1$, zbrajanjem tih jednakosti dobivamo $2z=2$, dakle $z=1$, $y=-1$ i $x=0$. Općenito u slučaju s dvije jednakosti prvog tipa imamo tri rješenja $(0,-1,1)$, $(1,0,-1)$ i $(-1,1,0)$. Slučaj s tri jednakosti prvog tipa vodi na $0=3$ što je nemoguće.