5. Zadatak

Brojevi $1,2,\ldots,10$ raspoređeni su u kružiće na slici, a zatim je u svaki od devet malih trokuta upisan zbroj brojeva upisanih u njegove vrhove. Dokaži da među brojevima upisanim u trokute postoje tri čiji je zbroj barem $48$ .

Službeni dijagram rasporeda brojeva za zadatak

Rješenje

Prvo rješenje.

Uočimo da je moguće odabrati tri trokuta tako da zbrojevi u njima čine zbroj brojeva u devet različitih kružića. “Neiskorišteni” kružić (na slici označen crnom bojom) nalazi se u jednom od vrhova danog trokuta ili u njegovom središtu.

Anotirani službeni dijagram s četiri izbora neiskorištenog kružića

Za određeni raspored brojeva, najveći zbroj ćemo dobiti ako izostavimo najmanji od brojeva u označenim poljima i tada je ukupna suma odabranih brojeva (tj. brojeva u tri odabrana trokuta) jednaka $(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-m=55-m$ , gdje je $m$ najmanji od brojeva u označenim poljima. Taj broj ( $m$ ) može biti najviše $7$ (ako su u ostalim označenim poljima brojevi $8,9$ i $10$ ) pa je kao zbroj brojeva u tri odabrana trokuta sigurno moguće dobiti zbroj $55-7=48$ ili veći.

Drugo rješenje.

Neka je $m$ broj u središnjem kružiću. Zbroj brojeva u tri trokuta u kutovima danog trokuta je zbroj svih brojeva od $1$ do $10$ bez $m$ , pa iznosi $55-m$ . Ako je $m\le7$ , onda je zbroj barem $48$ . Pretpostavimo zato da je $m\ge8$ i promotrimo tri mala trokuta kojima je jedan vrh upravo središte danog trokuta, koji ne dijele niti jednu stranicu. Zbrojimo li brojeve u ta tri trokuta dobivamo zbroj svih brojeva od $1$ do $10$ bez tri broja u vrhovima danog trokuta i uključujući tri puta broj $m$ . Dakle, zbroj u ta tri trokuta je barem $21+3m$ . Ako je $m\ge9$ , onda je zbroj barem $48$ . Preostaje slučaj $m=8$ . Zbroj brojeva u trima trokutima u kutovima jednak je $55-8=47$ , pa barem jedan od njih ima upisan barem $16$ . Ako nijedan od trokuta nema upisan zbroj $17$ ili više, onda se broj $16$ mora pojaviti u dva različita trokuta. Zbroj svih brojeva u bilo koja tri trokuta oko središta danog trokuta, odabrana kao i ranije, iznosi barem $21+3\cdot8=45$ . Dakle, u obje trojke barem jedan trokut ima upisano barem $15$ , pa budući da trokuti sa zajedničkom stranicom ne mogu imati isti zbroj upisan barem jedan od šest trokuta oko središta danog trokuta ima upisano barem $16$ . Dakle, možemo odabrati tri trokuta ili među jednim trokutom u kutu i dva trokuta u sredini ili dva trokuta u kutu i jedan trokut u sredini u koje su upisani najveći brojevi.