2. Zadatak

Prvo rješenje.

Vrijedi

$$k(k+1)(k+2)(k+3)=(k^2+3k)(k^2+3k+2).$$

Neka je $a=k^2+3k$, čime dana jednakost prelazi u

$$a(a+2)=n(n+1),$$

pri čemu su $a$ i $n$ prirodni brojevi. Sada promotrimo sljedeće slučajeve:

Prvi slučaj: $a\ge n$

Ovaj slučaj nema rješenja, jer vrijedi $a(a+2)>n(n+1)$.

Drugi slučaj: $a<n$

Ni u ovom slučaju nema rješenja, jer iz $a\le n-1$ slijedi

$$a(a+2)\le(n-1)(n+1)<n(n+1).$$

Drugo rješenje.

Vrijedi

$$\begin{aligned} k(k+1)(k+2)(k+3) &=(k^2+3k)(k^2+3k+2)\\ &=(k^2+3k+1)^2-1. \end{aligned}$$

To znači da broj $n(n+1)+1=n^2+n+1$ mora biti potpun kvadrat, no to je nemoguće jer je

$$n^2<n^2+n+1<n^2+2n+1=(n+1)^2,$$

tj. broj $n^2+n+1$ nalazi se između dvaju uzastopnih kvadrata. Takvi prirodni brojevi $k$ i $n$ ne postoje.