6. Zadatak

Rješenje 1. Neka je zadan trokut s vrhovima $A,B,C$, a pravim kutom u vrhu $C$ te neka je $|AB|=c$, $|BC|=a$ i $|AC|=b$. Slovima $R$ i $r$ označimo duljine polumjera tom trokutu opisane i upisane kružnice.

Najprije pokažimo tvrdnju iz a) dijela zadatka. Središte $S$ tom trokutu upisane kružnice jest sjecište simetrala kutova trokuta. Polumjeri $\overline{SK}$, $\overline{SL}$ i $\overline{SM}$ okomiti su na stranice trokuta, i to redom na stranice $\overline{AC}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$, i zato je četverokut $CLSK$ kvadrat. Posljedično $|CK|=|CL|=r$, $|AK|=b-r$ i $|BL|=a-r$.

Trokuti $AMS$ i $ASK$ sukladni su prema SSK poučku: pravokutni su i podudaraju se u dvije stranice: $|SK|=|SM|=r$ i $AS$ im je zajednička (dodatno i kutovi u vrhu $A$ su im sukladni jer je $AS$ simetrala kuta $\alpha$). Stoga je $|AM|=|AK|=b-r$. Analognim zaključivanjem pokaže se $BMS\cong BLS$ i $|MB|=|BL|=a-r$.

Sada je očito $c=a-r+b-r$ što daje tvrdnju $a+b-c=2r$ iz a) dijela zadatka.

Za b) dio zadatka treba uzeti u obzir da je svakom pravokutnom trokutu središte opisane kružnice u polovištu hipotenuze. Stoga je duljina polumjera trokutu opisane kružnice jednaka polovini duljine hipotenuze: $R=|PC|=|PA|=|PB|=\frac c2$.

Iz danog omjera duljina polumjera slijedi

$$\frac Rr=\frac52 \quad\Rightarrow\quad \frac{\frac c2}{\frac{a+b-c}{2}}=\frac52 \quad\Rightarrow\quad 5a+5b=7c,$$ $$\frac ac+\frac bc=\frac75.$$

Budući da je trokut $ABC$ pravokutan, iz Pitagorina poučka slijedi

$$a^2+b^2=c^2 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2=1.$$

Sada treba riješiti sustav

$$\frac ac+\frac bc=\frac75,$$ $$\left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2=1,$$

u terminima omjera $\frac ac$ i $\frac bc$. Supstitucijom iz prve jednadžbe $\frac bc=\frac75-\frac ac$ dobit će se kvadratna jednadžba

$$25\left(\frac ac\right)^2-35\cdot\frac ac+12=0$$

čija rješenja glase $\frac ac=\frac45$ ili $\frac ac=\frac35$. Odatle slijedi $\frac bc=\frac35$ odnosno $\frac bc=\frac45$.

U oba su slučaja duljine kateta u istom omjeru prema duljini hipotenuze, razlikuju se samo u postavljenim oznakama za duljine kateta. Zato je dovoljno gledati samo jedan slučaj. Omjeri duljina stranica dobit će se spajanjem tih omjera.

Iz $b:c=3:5$ je $c:b=5:3$ što zajedno s $a:c=4:5$ daje $a:c:b=4:5:3$, odnosno $a:b:c=4:3:5$. Odnosno, ako bismo gledali drugi slučaj (što nije nužno), iz $a:c=3:5$ i $b:c=4:5$ slijedilo bi $a:b:c=3:4:5$.

Rješenje 2. Alternativno, u rješavanju b) dijela zadatka druga jednadžba sustava jednadžbi može se dobiti iz relacije $\frac ac+\frac bc=\frac75$ tako što bismo ju kvadrirali, a potom primijenili Pitagorin poučak.

$$\frac ac+\frac bc=\frac75$$ $$\frac{a^2}{c^2}+\frac{2ab}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{49}{25}$$ $$\frac{a^2+b^2}{c^2}+2\cdot\frac ac\cdot\frac bc=\frac{49}{25}.$$

Sada se primjenom Pitagorina poučka dobiva jednadžba $\frac ac\cdot\frac bc=\frac{12}{25}$.

Tako se dolazi do (ekvivalentnog) sustava jednadžbi

$$\frac ac+\frac bc=\frac75,$$ $$\frac ac\cdot\frac bc=\frac{12}{25}.$$

Daljnji postupak slijedi analogno.