4. Zadatak

Da bi korijeni jednadžbe $x^2+2x+c=0$ bili realni i različiti, mora vrijediti da je diskriminanta $D'$ kvadratne jednadžbe $x^2+2x+c=0$ pozitivna tj. $D'>0$ tj. $D'=4-4c>0$.

Zaključujemo da to vrijedi za svaki realan broj $c$ takav da je $c<1$.

Promotrimo jednadžbu $(1+c)(x^2+2x+c)-2(c-1)(x^2+1)=0$, $c\in\mathbb R$. Raspisivanjem i množenjem dobivamo sljedeću kvadratnu jednadžbu: $(3-c)x^2+(2+2c)x+c^2-c+2=0$.

Diskriminanta dobivene jednadžbe jednaka je:

$$D=(2+2c)^2-4(3-c)(c^2-c+2)=4(c^3-3c^2+7c-5).$$

Dalje, faktoriziramo dobiveni izraz:

$$\begin{aligned} D&=4(c^3-c^2-2c^2+7c-5)\\ &=4(c^2(c-1)-(2c^2-7c+5))\\ &=4\left(c^2(c-1)-2(c-1)\left(c-\frac{10}{4}\right)\right)\\ &=4(c^2(c-1)-(c-1)(2c-5))\\ &=4(c-1)(c^2-2c+5). \end{aligned}$$

Budući da je $c<1$, a vrijednost izraza $c^2-2c+5$ uvijek pozitivna jer je vodeći koeficijent pozitivan i diskriminanta pripadne kvadratne jednadžbe negativna, slijedi da je diskriminanta $D$ negativna, tj. $D<0$ pa korijeni jednadžbe $(1+c)(x^2+2x+c)-2(c-1)(x^2+1)=0$, $c\in\mathbb R$ nikada nisu realni.