7. Zadatak

Promotrimo tablicu brojeva s $50$ redaka i $50$ stupaca, oblika:

\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,49} & a_{1,50} \\ 0 & a_{2,2} & \cdots & a_{2,49} & a_{2,50} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{49,50} & a_{49,50} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{50,50} \end{bmatrix}

pri čemu oznaka $a_{i,j}$ označava broj koji se nalazi u $i$ -tom retku i $j$ -tom stupcu i pri čemu su brojevi $a_{1,1},a_{1,2},\ldots,a_{50,50}$ iz skupa $S=\{2,3\ldots,22\}$ . Odredite broj tablica navedenog oblika koje u svakom retku imaju točno jedan neparan broj. (Napomena: konačno rješenje može se napisati u obliku umnoška, bez dodatnog računanja.)

U skupu $S$ postoji $11$ parnih brojeva i $10$ neparnih brojeva.

U prvom se retku nalazi $50$ elemenata, te za odabir neparnog broja u prvom retku postoji $50$ mogućnosti. U skupu $S$ postoji $10$ neparnih brojeva, što je ukupno $50\cdot10$ mogućnosti za jedan neparan broj u prvom retku. Preostalih $49$ elemenata u prvom retku parni su brojevi, te za odabir svakog parnog broja postoji $11$ mogućnosti, što je ukupno $11^{49}$ mogućnosti. Dakle, broj mogućnosti za elemente prvog retka, uz uvjet da u njemu postoji točno jedan neparan broj, jest $50\cdot10\cdot11^{49}$ .

Analogno, za odabir neparnog broja u drugom retku postoji $49$ mogućnosti. U skupu $S$ postoji $10$ neparnih brojeva, što je ukupno $49\cdot10$ mogućnosti za jedan neparan broj u drugom retku. Preostalih $48$ elemenata u drugom retku parni su brojevi, te za odabir svakog parnog broja postoji $11$ mogućnosti, što je ukupno $11^{48}$ mogućnosti. Dakle, broj mogućnosti za elemente drugog retka uz uvjet da u njemu postoji točno jedan neparan broj jest $49\cdot10\cdot11^{48}$ .

$\vdots$

U pretposljednjem retku postoji $2\cdot10$ mogućnosti za jedan neparan broj, te $11$ mogućnosti za paran broj. Dakle, broj mogućnosti za elemente $49.$ retka, uz uvjet da u njemu postoji točno jedan neparan broj, jest $2\cdot10\cdot11$ .

U posljednjem je retku jedan broj koji zbog uvjeta u zadatku mora biti neparan. Postoji $10$ mogućnosti za neparan broj u posljednjem retku.

Konačno je rješenje:

(50\cdot49\cdots1)\cdot10^{50}\cdot(11^{49}\cdot11^{48}\cdots11^1).

Napomena: Konačno rješenje može se zapisati i na sljedeći način:

50!\cdot10^{50}\cdot11^{1225}.

Napomena: U pretposljednjem retku elementi tablice su trebali biti označeni redom s $a_{49,49}$ i $a_{49,50}$ . Ukoliko bi se promatralo na način kao što je zadano, tj. da su elementi u pretposljednjem retku međusobno jednaki, uvjet zadatka da u svakom retku postoji točno jedan neparan broj ne bi bio zadovoljen. Samim time, tablice navedenog oblika uz dani uvjet ne bi postojale i time bi rješenje bilo jednako $0$ .