1. Zadatak

Rješenje 1. Neka su $x_1$ i $x_2$ rješenja zadane jednadžbe.

Primjenom Vieteovih formula za $x^2+2mx+m-1=0$ slijedi

$$x_1+x_2=-2m \qquad \text{i} \qquad x_1\cdot x_2=m-1.$$

Iskaže se kvadrat razlike rješenja koristeći Vieteove formule:

$$\begin{aligned} (x_1-x_2)^2&=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\\ &=4m^2-4m+4\\ &=(2m-1)^2+3. \end{aligned}$$

Kvadrati realnih brojeva nisu negativni pa za svaki $m\in\mathbb R$ je $(2m-1)^2\geq0$.

Dodavanjem broja $3$ na obje strane nejednakosti slijedi

$$(2m-1)^2\geq0,$$ $$(2m-1)^2+3\geq3,$$ $$(x_1-x_2)^2\geq3.$$

Kvadrat razlike rješenja iznosit će najmanje $3$ i tu vrijednost postiže za $m=\frac12$.

Rješenje 2. Alternativno, nakon što učenik zapiše $(x_1-x_2)^2=4m^2-4m+4$, umjesto svođenja na potpuni kvadrat do rješenja može doći računajući koordinate tjemena parabole koja je graf kvadratne funkcije $p(m)=4m^2-4m+4$.