3. Zadatak

Neka je $a$ znamenka stotice, $b$ znamenka desetice i $c$ znamenka jedinice. Troznamenkasti broj zapisan tim znamenkama glasio bi $100a+10b+c$, gdje su $a,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ uz uvjet $a\neq0$ (inače broj ne bi bio troznamenkast).

Prema uvjetu zadatka mora vrijediti

$$100a+10b+c=a+b^2+c^3.$$

Jednadžba se može zapisati kao

$$99a+b(10-b)=(c-1)c(c+1).$$

Uzevši u obzir da su $a,b,c$ znamenke broja, možemo provesti postupak analize slučajeva. Tablično ćemo prikazati sve moguće iznose triju članova jednadžbe.

$a,b,c$	$99a$	$b(10-b)$	$(c-1)c(c+1)$
$0$	ne može	$0$	$0$
$1$	$99$	$9$	$0$
$2$	$198$	$16$	$6$
$3$	$297$	$21$	$24$
$4$	$396$	$24$	$60$
$5$	$495$	$25$	$120$
$6$	$594$	$24$	$210$
$7$	$693$	$21$	$336$
$8$	$792$	$16$	$504$
$9$	$891$	$9$	$720$

U tablici je lako uočiti koja kombinacija pribrojnika iz drugog i trećeg stupca odgovara nekoj vrijednosti iz četvrtog stupca.

Budući da je $99+21=120$, što se postiže za $a=1$, $b\in\{3,7\}$ i $c=5$, zaključujemo da su traženi brojevi $135$ i $175$.

Također je $495+9=504$, što se postiže za $a=5$, $b\in\{1,9\}$ i $c=8$, zaključujemo da su traženi brojevi $518$ i $598$.