5. Zadatak

Izraz $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}=a$ kvadrirajmo.

Dobivamo sljedeće:

$$x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}+2\sqrt{(x^2+\sqrt[3]{x^4y^2})(y^2+\sqrt[3]{x^2y^4})}+y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}=a^2.$$

Pojednostavimo izraz $2\cdot\sqrt{(x^2+\sqrt[3]{x^4y^2})(y^2+\sqrt[3]{x^2y^4})}$ tako da pomnožimo izraze u zagradi.

$$\begin{aligned} 2\sqrt{(x^2+\sqrt[3]{x^4y^2})(y^2+\sqrt[3]{x^2y^4})} &=2\sqrt{2x^2y^2+\sqrt[3]{x^4y^4}(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4})}\\ &=2\sqrt{\sqrt[3]{x^4y^4}(2\sqrt[3]{x^2y^2}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{x^4})}\\ &=2\sqrt{\sqrt[3]{x^4y^4}(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^2}\\ &=2\cdot\sqrt[3]{x^2y^2}(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}). \end{aligned}$$

Vratimo se u početni izraz te dobivamo:

$$x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}+2\cdot\sqrt[3]{x^2y^2}(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})+y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}=a^2,$$ $$x^2+3\sqrt[3]{x^4y^2}+3\cdot\sqrt[3]{x^2y^4}+y^2=a^2,$$ $$(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2})^3=a^2.$$