3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $x_1$ i $x_2$ rješenja dane kvadratne jednadžbe. Prema Vieteovim formulama vrijedi

$$x_1x_2=n+3,\qquad x_1+x_2=3n.$$

Najprije uočimo da iz prve jednakosti slijedi da su $x_1$ i $x_2$ istog predznaka, a zatim iz druge da su $x_1$ i $x_2$ pozitivni.

Iz $x_1x_2=n+3$ čitamo da su obje nultočke manje od ili jednake $n+3$. Nadalje, manja nultočka mora biti manja od ili jednaka $\sqrt{n+3}$, tj. (bez smanjenja općenitosti) $x_1\le\sqrt{n+3}$. Budući da je $\sqrt{n+3}\ge2$, možemo iskoristiti i

$$\sqrt{n+3}\le\frac12(n+3).$$

Sada iz $x_1\le\frac12(n+3)$ i $x_2\le n+3$ slijedi $x_1+x_2\le\frac32(n+3)$, tj. $3n\le\frac32(n+3)$. Sređivanjem ove nejednakosti dolazimo do uvjeta $n\le3$.

Preostaje provjeriti ima li jednadžba cjelobrojna rješenja za $n=1,2,3$. Uvrštavanjem i direktnom provjerom dobivamo da jedino za $n=2$ početna jednadžba ima cjelobrojna rješenja.

Drugo rješenje.

Do gornje ograde za $n$ možemo doći i na drugi način. Rješenja dane kvadratne jednadžbe su

$$x_{1,2}=\frac{3n\pm\sqrt{9n^2-4(n+3)}}{2}.$$

Da bi ovo bili cijeli brojevi, nužno je i dovoljno da $9n^2-4(n+3)=9n^2-4n-12$ bude kvadrat cijelog broja.

Ako vrijedi

$$(3n-1)^2<9n^2-4n-12<(3n)^2,$$

onda $9n^2-4n-12$ ne može biti kvadrat cijelog broja jer se nalazi između kvadrata uzastopnih cijelih brojeva.

Druga nejednakost očito vrijedi uvijek, a prva vrijedi ako i samo ako

$$(3n-1)^2<9n^2-4n-12 \Longleftrightarrow 9n^2-6n+1<9n^2-4n-12 \Longleftrightarrow 13<2n \Longleftrightarrow n\ge7.$$

Prema tome, za $n\ge7$ početna jednadžba nema cjelobrojnih rješenja, stoga preostaje provjeriti $n=1,2,\ldots,6$. Uvrštavanjem svih šest mogućnosti za $n$ i direktnom provjerom dobivamo da jedino za $n=2$ početna jednadžba ima cjelobrojna rješenja.