4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su točke $A$ i $B$ dirališta vanjske tangente, a točke $P$ i $Q$ dirališta unutarnje tangente i zadanih kružnica s polumjerima $r_1$ i $r_2$, redom. Neka je $S_1$ središte kružnice polumjera $r_1$ i $S_2$ središte kružnice polumjera $r_2$, a $X$ sjecište pravaca $AB$ i $PQ$.

Promotrimo trokute $AXS_1$ i $PXS_1$. Budući da je $\angle S_1AX=90^\circ=\angle S_1PX$, $|S_1A|=r_1=|S_1P|$ te im je stranica $XS_1$ zajednička, po S–S–K poučku o sukladnosti (stranica $XS_1$ je kao hipotenuza najveća stranica u promatranim trokutima) zaključujemo da su trokuti $AXS_1$ i $PXS_1$ sukladni.

Iz dobivene sukladnosti slijedi da je $|AX|=|PX|$ i

$$\angle AXS_1=\angle PXS_1=\frac12\angle AXP.$$

Analogno dobivamo da su trokuti $BXS_2$ i $QXS_2$ sukladni, iz čega slijedi da je $|BX|=|QX|$ i

$$\angle BS_2X=\angle QS_2X=\frac12\angle QS_2B.$$

Koristeći dobivene jednakosti zaključujemo

$$16=|AB|=|AX|+|XB|=|PX|+|QX|=|PQ|+2|QX|=12+2|QX|.$$

Iz dobivene jednakosti slijedi da je $|QX|=2$, iz čega dobivamo da je $|XB|=2$ te $|AX|=14$.

Promotrimo trokute $AXS_1$ i $BS_2X$. Budući da je $\angle S_1AX=90^\circ=\angle XBS_2$ i

$$\angle AXS_1=\frac12\angle AXP =\frac12(180^\circ-\angle BXQ) =\frac12\bigl(180^\circ-(360^\circ-\angle XQS_2-\angle QS_2B-\angle S_2BX)\bigr)$$ $$=\frac12(180^\circ-(360^\circ-90^\circ-\angle QS_2B-90^\circ)) =\frac12\angle QS_2B =\angle BS_2X,$$

po K–K teoremu o sličnosti zaključujemo da su trokuti $AXS_1$ i $BS_2X$ slični.

Iz dobivene sličnosti slijedi da je

$$\frac{r_1}{|AX|}=\frac{|XB|}{r_2}.$$

Koristeći ranije pokazano dobivamo $r_1\cdot r_2=2\cdot14=28$.

Drugo rješenje.

Neka su točke $A$ i $B$ dirališta vanjske tangente i zadanih kružnica s polumjerima $r_1$ i $r_2$, redom. Neka je $S_1$ središte kružnice polumjera $r_1$ i $S_2$ središte kružnice polumjera $r_2$. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $r_1\le r_2$. Neka je $X$ nožište okomice iz točke $S_1$ na pravac $BS_2$. Kako je $r_1\le r_2$, zaključujemo da $X$ leži na dužini $BS_2$.

Promotrimo četverokut $AS_1XB$. Budući da je tangenta $AB$ okomita na polumjere $S_1A$ i $S_2B$ te je pravac $S_1X$ okomit na $BS_2$, zaključujemo da je $AS_1XB$ pravokutnik. Iz toga slijedi da je $|S_1X|=|AB|=16$ i $|BX|=r_1$.

Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutni trokut $S_1XS_2$ dobivamo

$$|S_1S_2|^2=|S_1X|^2+|XS_2|^2 =16^2+(|BS_2|-|BX|)^2 =16^2+(r_2-r_1)^2. \tag{1}$$

Neka su točke $P$ i $Q$ dirališta unutarnje tangente i danih kružnica. Neka je $Y$ nožište okomice iz točke $S_1$ na pravac $QS_2$.

Promotrimo četverokut $PS_1YQ$. Budući da je tangenta $PQ$ okomita na polumjere $S_1P$ i $S_2Q$ te je pravac $S_1Y$ okomit na $QS_2$, zaključujemo da je $PS_1YQ$ pravokutnik. Iz toga slijedi da je $|S_1Y|=|PQ|=12$ i $|QY|=r_1$.

Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutni trokut $S_1YS_2$ dobivamo

$$|S_1S_2|^2=|S_1Y|^2+|YS_2|^2 =12^2+(|QS_2|+|QY|)^2 =12^2+(r_2+r_1)^2. \tag{2}$$

Oduzimanjem jednadžbi (1) i (2) dobivamo

$$0=16^2+(r_2-r_1)^2-12^2-(r_2+r_1)^2 =112-4r_1r_2,$$

iz čega slijedi $r_1r_2=28$.