1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $z_1=1$ i $z_2=5$.

Prema nejednakosti trokuta vrijedi

$$|z-z_2|=|(z-z_1)+(z_1-z_2)| \le |z-z_1|+|z_1-z_2|,$$

odnosno

$$|z-5|\le |z-1|+4.$$

Pritom jednakost vrijedi samo ako je trokut degeneriran, tj. samo ako $z$ leži na pravcu koji prolazi točkama $z_1$ i $z_2$. Prema tome, ako vrijedi jednakost iz zadatka, $z$ mora ležati na realnoj osi.

Drugo rješenje.

Neka je $z=x+yi$, pri čemu su $x,y\in\mathbb R$. Uvjet zadatka tada možemo zapisati kao

$$\sqrt{(x-5)^2+y^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}+4.$$

Kvadriranjem dobivamo

$$(x-5)^2+y^2=(x-1)^2+y^2+16+8\sqrt{(x-1)^2+y^2},$$

a daljnjim sređivanjem ovog izraza dolazimo do

$$1-x=\sqrt{(x-1)^2+y^2}.$$

Konačno, kvadriranjem dobivamo

$$(1-x)^2=(x-1)^2+y^2,$$

odakle slijedi $y^2=0$, tj. $y=0$. Prema tome, vrijedi $z=x$, dakle $z$ je realni broj.