2. Zadatak

Uočimo da djelitelje broja $n$ možemo grupirati u parove čiji je umnožak broj $n$.

Bez smanjenja općenitosti neka je $1=d_1<d_2<\ldots<d_m=n$. Tako možemo napisati $m$ jednakosti

$$d_1d_m=n,\qquad d_2d_{m-1}=n,\qquad\ldots,\qquad d_kd_{m+1-k}=n,\qquad\ldots,\qquad d_md_1=n.$$

Množenjem svih ovih jednakosti dobivamo

$$d_1^2d_2^2\ldots d_m^2=n^m. \tag{*}$$

Računamo

$$\begin{aligned} 2\sum_{k=1}^{m}\log d_k &=2(\log d_1+\log d_2+\ldots+\log d_m)\\ &=2\log(d_1d_2\ldots d_m)\\ &=\log(d_1^2d_2^2\ldots d_m^2). \end{aligned}$$

Zbog $(*)$ konačno dobivamo $2\sum_{k=1}^{m}\log d_k=\log n^m$ čime je tvrdnja dokazana.