4. Zadatak

Vrijedi

$$\cos3x=\cos^3x-3\cos x\sin^2x=4\cos^3x-3\cos x,$$

pa je

$$\cos\left(\frac{\pi}{2\cdot3^{n-1}}\right)=4\cos^3\left(\frac{\pi}{2\cdot3^n}\right)-3\cos\left(\frac{\pi}{2\cdot3^n}\right). \tag{*}$$

Za $n=1$, broj $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$ je iracionalan.

Pretpostavimo da nisu svi brojevi oblika $\cos\left(\frac{\pi}{2\cdot3^n}\right)$ iracionalni. Neka je $n\in\mathbb{N}$ najmanji broj takav da je $\cos\left(\frac{\pi}{2\cdot3^n}\right)$ racionalan.

Tada iz jednakosti $(*)$ slijedi da je broj $\cos\left(\frac{\pi}{2\cdot3^{n-1}}\right)$ također racionalan, što je u kontradikciji s pretpostavkom o minimalnosti broja $n$.

Alternativni induktivni oblik. Pretpostavimo li da je $\cos\left(\frac{\pi}{2\cdot3^k}\right)$ iracionalan broj za $1\leq k\leq n-1$, tada zbog jednakosti $(*)$ nije moguće da je $\cos\left(\frac{\pi}{2\cdot3^n}\right)$ racionalan jer bismo dobili kontradikciju.