2. Zadatak

Prvo rješenje.

Zapišimo $x\in\mathbb R$ kao $x=n+\alpha$, $n\in\mathbb Z$, $0\le\alpha<1$. Razlikujemo dva slučaja: $0\le\alpha<\frac12$ i $\frac12\le\alpha<1$.

1. Za $0\le\alpha<\frac12$ jednadžba prelazi u

   $$11n+n=9n+9\alpha,$$

   odnosno $n=3\alpha$. Iz toga slijedi $0\le n<\frac32$, odnosno $n\in\{0,1\}$. Za $n=0$ slijedi $\alpha=0$ i $x=0$. Za $n=1$ slijedi $\alpha=\frac13$ i $x=\frac43$.

2. Za $\frac12\le\alpha<1$ jednadžba prelazi u

   $$11n+n+1=9n+9\alpha,$$

   odnosno $n=3\alpha-\frac13$. Iz toga slijedi $\frac32-\frac13\le n<3-\frac13$, odnosno $n=2$. Slijedi $\alpha=\frac79$ i $x=\frac{25}{9}$.

Drugo rješenje.

Budući da su $\lfloor x\rfloor$ i $\left\lfloor x+\frac12\right\rfloor$ cijeli brojevi, slijedi da je $9x$ cijeli broj. Zato broj $x$ možemo zapisati u obliku

$$x=a+\frac b9, \qquad a=\lfloor x\rfloor\in\mathbb Z, \qquad b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}.$$

Početna jednadžba prelazi u

$$11a+\left\lfloor a+\frac b9+\frac12\right\rfloor=9a+b,$$

odnosno

$$a+\left\lfloor\frac b9+\frac12\right\rfloor=b-2a.$$

Razlikujemo dva slučaja.

Ako je $\frac b9+\frac12<1$, tj. $b\in\{0,1,2,3,4\}$, onda je

$$a=b-2a,\qquad b=3a,$$

iz čega slijedi $(a,b)=(0,0)$ ili $(a,b)=(1,3)$.

Ako je $\frac b9+\frac12\ge1$, tj. $b\in\{5,6,7,8\}$, onda je

$$a+1=b-2a,\qquad b=3a+1,$$

iz čega slijedi $(a,b)=(2,7)$.

Konačno, rješenja dane jednadžbe su

$$0+\frac09,\qquad 1+\frac39,\qquad 2+\frac79,$$

tj.

$$x\in\left\{0,\frac43,\frac{25}{9}\right\}.$$