3. Zadatak

Označimo

$$a^2=2n-1\quad\text{i}\quad b^2=3n-2.$$

Tada je

$$10n-7=4(3n-2)-(2n-1)=4b^2-a^2=(2b-a)(2b+a).$$

Ako su $2b-a$ i $2b+a$ veći od $1$, onda je $10n-7$ složen. Uočimo da je $2b-a<2b+a$, pa pretpostavimo da je $2b-a=1$.

Tada je $2b+a=10n-7$. Oduzimanjem jednakosti slijedi

$$2a=10n-8,\qquad\text{odnosno}\qquad a=5n-4.$$

Uvrštavanjem slijedi

$$2n-1=(5n-4)^2,$$

pa dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$0=25n^2-42n+17,$$

čija su rješenja $n_1=1$ i $n_2=\frac{17}{25}$. Budući da je $n>1$, dobivamo kontradikciju. Dakle, oba su faktora veća od $1$, pa je $10n-7$ složen.