4. Zadatak

Budući da je

$$\angle ABD=180^\circ-80^\circ-50^\circ=50^\circ=\angle BAD,$$

trokut $ABD$ je jednakokračan i vrijedi $|AD|=|BD|$.

Budući da je $|AD|=|BD|$ i $\angle ADB=2\angle ACB$, točka $D$ je središte kružnice opisane trokutu $ABC$.

Neka je $\angle BDC=x$. Budući da je kut $BAC$ obodni kut nad tetivom $BC$, a pripadni središnji kut je kut $BDC$, vrijedi

$$\angle BAC=\frac x2.$$

Budući da je $\angle CBD=x+30^\circ$, iz trokuta $ABC$ slijedi

$$180^\circ=\frac x2+50^\circ+x+30^\circ+40^\circ,$$

odakle je $x=40^\circ$. Dakle,

$$\boxed{\angle BDC=40^\circ}.$$